Cho hàm số \(f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\left(e^x-e^{-x}\right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left(m-7\right)+f\left(\dfrac{12}{m+1}\right)< 0\) ?
Cho hàm số \(f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\left(e^x-e^{-x}\right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left(m-7\right)+f\left(\dfrac{12}{m+1}\right)< 0\) ?
Lời giải:
Đặt $\sqrt{x^2+1}+x=a$ thì:
$f(a)=e^a-e^{\frac{1}{a}}$
$f'(a)=e^a+\frac{1}{a^2}.e^{\frac{1}{a}}>0$ với mọi $a$
Do đó hàm $f(a)$ là hàm đồng biến hay $f(x)$ là hàm đồng biến trên R
$\Rightarrow f(x)> f(0)=0$ với mọi $x>0$
$\Rightarrow f(\frac{12}{m+1})>0$ với $m$ nguyên dương
Do đó để $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})<0$ thì $f(m-7)<0$
$\Rightarrow m-7<0$
Mặt khác, dễ thấy: $f(x)+f(-x)=0$. Bây h xét:
$m=1$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-6)+f(6)=0$ (loại)
$m=2$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-5)+f(4)=f(4)-f(5)<0$ (chọn)
$m=3$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-4)+f(3)=f(3)-f(4)<0$ (chọn)
$m=4$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-3)+f(2,4)=f(2,4)-f(3)<0$ (chọn)
$m=5$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-2)+f(2)=0$ (loại)
$m=6$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-1)+f(12/7)>f(-1)+f(1)=0$ (loại)
Vậy có 3 số tm
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn: \(\left[f\left(1+2x\right)\right]^3=8x-\left[f\left(1-x\right)\right]^2\), ∀x∈R. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Cho a là một số thực dương. Biết rằng F(x) là 1 nguyên hàm của \(f\left(x\right)=e^x\left(ln\left(ax\right)+\dfrac{1}{x}\right)\) thỏa mãn \(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) và \(F\left(2020\right)=e^{2020}\). Tìm a.
\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)
Xét \(I=\int e^xlnxdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)
\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)
\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)
\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[0;2\right]\), thỏa mãn các điều kiện f(2) = 1 và \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{2}{3}\) Giá trị của f(1) bằng
Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:
\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)
Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\) nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:
Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)
(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)
Để tìm cụ thể giá trị k:
Từ (1) ta suy luận tiếp:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)
Do đó ta có:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)
Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\ {0; -1} thỏa mãn f(1) =-2ln2 và
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) . Tính f(2)
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thoả mãn \(f\left(1\right)=2\) và \(f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)=2xf^2\left(x\right)\), ∀x ϵ [1;2]. Giá trị của \(\int_1^2f\left(x\right)dx\) bằng
A. \(1+\ln2\) B. \(1-\ln2\) C. \(\dfrac{1}{2}-\ln2\) D. \(\dfrac{1}{2}+\ln2\)
\(f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)=2x.f^2\left(x\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x\)
\(\Rightarrow\left[\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}\right]'=2x\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}=\int2xdx=x^2+C\)
Thay \(x=1\Rightarrow\dfrac{2}{f\left(1\right)}=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^2}\Rightarrow\int\limits^2_1\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\left(lnx-\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=ln2+\dfrac{1}{2}\)
Câu 1: Cho \(\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\log_2\left(\ln\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{\ln\left(2\right)e}\). Biết \(\ln\left(f\left(0\right)\right)=1\) và \(\int\limits^{5e}_{-e}f\left(2x\right)dx=18e^2\). Tính \(\frac{\ln\left(f\left(1+e\right)\right)}{f\left(1+e\right)^{10}}\) bằng:
a) 0
b) \(\frac{\ln\left(1+e\right)}{\left(1+e\right)^{10}}\)
c) \(1\)
d) \(\frac{\ln\left(1+2e\right)}{\left(1+2e\right)^{10}}\)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn: xf'(x).lnx + f(x) = 2x2, ∀x ∈ (1;+∞) và f(e) = e2. Tính tích phân I=\(\int\limits^{e^2}_e\dfrac{x}{f\left(x\right)}dx\)
Cách làm cơ bản của dạng này:
Tìm nguyên hàm của hàm số:
1. \(f\left(x\right)=\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}\)
2. \(f\left(x\right)=e^{3x}.3^x\)
2.
\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)
\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)
1.
\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)
Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)
\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)
Để tìm nguyên hàm của hàm số, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.
Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.
Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm số:
f ( x )
( 2 x − 1 ) e 1 x
= ( 2 ( 3 ) − 1 ) e 1 ( 3 )
= ( 6 − 1 ) e 1 3
= ( 5 ) e 1 3
f ( x )
e 3 x
= e 3 ( 3 )
= e 3 3
Ta tiến hành tính toán:
f ( 3 )
( 5 ) e 1 3
= 5 e 1 3
f ( 3 )
e 3 3
= e 3 3
Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.
Tóm lại, để tìm nguyên hàm của hàm số, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.